El cliente OpenVPN no instala los servidores DNS
Si su servidor OpenVPN envía servidores de nombres DNS y dominios de búsqueda a las conexiones cliente, su cliente OpenVPN debería instalarlos y utilizarlos.
Si esto no ocurre, revise la configuración de seguridad de su cliente OpenVPN. Es posible que esté restringido para no permitir la ejecución de scripts externos y podrá detectar el error de inmediato.
Cuando el cliente recibe los parámetros de conexión, analiza los DNS enviados por el servidor. Una vez que lo tiene todo, el cliente intentará ejecutar el script en /etc/openvpn/update-resolv-conf que añadirá la configuración recibida sobre su archivo actual /etc/resolv.conf. La restricción de seguridad de ejecución de script externo evitará que esto suceda.
Solución fácil en este caso. Sólo tiene que añadir lo siguiente al archivo de configuración de OpenVPN:
--script-security 2